اعداد خوشحال

اعداد خوشحال (به انگلیسی: happy number) عدد صحیح مثبتی است که اگر مجموع مربعات ارقام آن به عنوان عدد بعدی در نظر گرفته‌شود و این عمل ادامه یابد به عدد یک ختم شود. در غیر این صورت آن عدد یک عدد غیرخوشحال (به انگلیسی: unhappy number) می‌باشد. اگر یک عدد خوشحال باشد تمام اعضای توالی ان نیز خوشحال خواهند بود و اگر عددی غیر خوشحال باشد تمام اعداد توالی آن نیز غیر خوشحال خواهند بود. ۱۹ یک عدد خوشحال است پس اعداد حاصل از آن در توالی اعداد هم خوشحال هستند.

تعریف رسمی

عدد معلوم n=n_۰ را در نظر بگیرید. توالی از اعداد n_۱ ,n_۲, n_۳ و... را در نظر بگیرید به‌طوری‌که n_i+۱ مجموع مربعات ارقام n_i باشد. آنگاه n یک عدد خوشحال است اگر و تنها اگر وجود داشته باشد i ای که ۱=n_i.

به‌طور مثال عدد ۱۹:

۱^۲ + ۹^۲ = ۸۲

۸^۲ + ۲^۲ = ۶۸

۶^۲ + ۸^۲ = ۱۰۰

۱^۲ + ۰^۲ + ۰^۲ = ۱

پس عدد ۱۹ یک عدد خوشحال است.

عدد اول خوشحال

عدد اول خوشحال، عدد خوشحالی است که اول باشد.

همهٔ اعداد و در نتیجه همه اعداد اولی که به شکل ۳+ ۱۰n و ۱۰n+۹ باشند، اعداد خوشحال هستند. (اولی را می‌توان ۱۳ و دومی را می‌توان ۱۹ در نظر گرفت و از صفرها صرف نظر کرد)

اعداد خوشحال کمتر از ۵۰۰

اعداد خوشحال کمتر از ۵۰۰ عبارتند از:

۱، ۷، ۱۰، ۱۳، ۱۹، ۲۳، ۲۸، ۳۱، ۳۲، ۴۴، ۴۹، ۶۸، ۷۰، ۷۹، ۸۲، ۸۶، ۹۱، ۹۴، ۹۷، ۱۰۰، ۱۰۳، ۱۰۹، ۱۲۹، ۱۳۰، ۱۳۳، ۱۳۹، ۱۶۷، ۱۷۶، ۱۸۸، ۱۹۰، ۱۹۲، ۱۹۳، ۲۰۳، ۲۰۸، ۲۱۹، ۲۲۶، ۲۳۰، ۲۳۶، ۲۳۹، ۲۶۲، ۲۶۳، ۲۸۰، ۲۹۱، ۲۹۳، ۳۰۱، ۳۰۲، ۳۱۰، ۳۱۳، ۳۱۹، ۳۲۰، ۳۲۶، ۳۲۹، ۳۳۱، ۳۳۸، ۳۵۶، ۳۶۲، ۳۶۵، ۳۶۷، ۳۶۸، ۳۷۶، ۳۷۹، ۳۸۳، ۳۸۶، ۳۹۱، ۳۹۲، ۳۹۷، ۴۰۴، ۴۰۹، ۴۴۰، ۴۴۶، ۴۶۴، ۴۶۹، ۴۷۸، ۴۸۷، ۴۹۰، ۴۹۶.

منابع

• mathworld/HappyNumber
• مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «اعداد خوشحال». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی، بازبینی‌شده در ۱۴ دی ۱۳۹۱.